Angelo Veccia wurde in Rom geboren und studierte an der Academy of St. Cecilia.  Nachdem er 1983 und 1984 den Battistini Competition gewann, wechselte er an die Juilliard School in New York.
Nach seinem Erstengagement in Italien als Colline in La Bohème und weiteren Rollen als Bass in Amerika, debütierte er 1988 als Bariton in der Rolle des Silvio in Pagliacci von Leoncavallo.
Seine Karriere führte ihn an viele italienische Theater, unter anderem das Teatro alla Scala di Milano (Iphigénie en Tauride, R.Muti conducting, Madama Butterfly, unter der Leitung von R. Chailly, Lucia di Lammermoor, L’Assassinio nella cattedrale, Gianni Schicchi, Teneke of F. Vacchi, Adriana Lecouvreur, Turandot), an die Arena di Verona (La Bohème, Pagliacci), nach Bologna (Madama Butterfly, Macbeth, Tosca), Rom (Il barbiere di Siviglia, Amica, Il Trovatore), Firenze (Turandot unter Z.Mehta, Il barbiere di Siviglia), Napoli (La Bohème, Tosca, Cavalleria rusticana), Venezia (La Bohème, L’Africaine, Tosca), Cagliari (Aida, Tosca, Macbeth), Trieste (Ernani, La Traviata, Macbeth, Tosca), Torino (La Traviata, Oedipus Rex and Cavalleria rusticana), und Genova (Tosca and Aida).
Der Bariton sang ebenfalls an vielen internationalen Häusern, wie der Deutschen Oper in Berlin, der Bayrischen Staatsoper, in Lyon, Brüssel, der Nederlande Oper und in Tokio.
Währenddessen arbeitete Angelo Veccia mit Dirigenten wie A. Battistoni, G. Bisanti, S. Byckov, R. Chailly, A. Fischer, D. Gatti, V. Gergiev, Z. Mehta, R. Muti, D. Oren, N. Santi, G. Sinopoli, M. Viotti und mit Regisseuren wie  H. de Ana, G. Montaldo L. Ronconi, B. Wilson and Z. Yimou zusammen.

Einige seiner bedeutendsten Engagements waren unter anderem La Traviata (Germont) in Bologna, Macbeth (Hauptrolle) in Pavia, Como, Brescia und Cremona (Musikalische Leitung: G. Gelmetti), Palla de’ Mozzi (Hauptrolle) in Cagliari (Eröffnungssaison), La Bohème (Marcello) in Las Palmas und Otello (Iago) in Bologna.